Całki pierwsze

Rozważmy równanie

\( x^\prime=f(t,x),\qquad (t,x)\in \Omega, \)

gdzie \( \hskip 0.3pc f:\Omega\to \mathbb R^n\hskip 0.3pc \) jest zadaną funkcją, a \( \hskip 0.3pc \Omega\subset \mathbb R\times \mathbb R^n\hskip 0.3pc \) zbiorem otwartym. Oczywiście równanie to możemy zapisać we współrzędnych w postaci układu równań

(2)

\( \begin{cases} \dfrac{dx_1}{dt}=f_1(t,\hskip 0.2pc x_1,\hskip 0.2pc ,\ldots ,\hskip 0.2pc x_n), &\\~~ \vdots \hskip 3pc \vdots\hskip 3pc \vdots &\\\dfrac{dx_n}{dt}=f_n(t,\hskip 0.2pc x_1,\hskip 0.2pc\ldots ,\hskip 0.2pc x_n), \end{cases} \)

Definicja 1:

Funkcje \( \hskip 0.3pc g:\Omega\to\mathbb R\hskip 0.3pc \) klasy \( \hskip 0.3pc C^1\hskip 0.3pc \) nazywamy całką pierwszą układu równań ( 2 ) jeśli dla dowolnego rozwiązania \( \hskip 0.3pc x_1=x_1(t),\, \ldots ,\hskip 0.5pc x_n= x_n(t),\hskip 0.3pc \) \( \hskip 0.3pc t \in I,\hskip 0.3pc \) tego układu

\( g\big(t,x_1(t), \ldots ,x_n(t)\big)= {\rm const} \qquad {\rm dla}\quad t \in I, \)

tzn. funkcja \( \hskip 0.3pc g\hskip 0.3pc \) jest stała wzdłuż dowolnego rozwiązania układu równań ( 2 ).

Widać natychmiast, że prawdziwa jest następująca uwaga:

Uwaga 1:

Niech \( \hskip 0.3pc h: \mathbb R^n \to \mathbb R\hskip 0.3pc \) będzie funkcją klasy \( \hskip 0.3pc C^1,\hskip 0.3pc \) a \( \hskip 0.3pc g\hskip 0.3pc \) całką pierwszą układu ( 2 ). Wówczas funkcja \( \hskip 0.3pc h\circ g\hskip 0.3pc \) jest również całą pierwszą układu ( 2 ).

Podobnie, jeśli funkcje \( \hskip 0.3pc g_1, \ldots ,g_m\hskip 0.3pc \) są całkami pierwszymi uładu ( 2 ) a \( \hskip 0.3pc h:R^m\to \mathbb R\hskip 0.3pc \) jest funkcją klasy \( \hskip 0.3pc C^1,\hskip 0.3pc \) to funkcja \( \hskip 0.3pc h\circ (g_1,\ldots ,g_m )\hskip 0.3pc \) jest również całką pierwszą układu ( 2 ).

Definicja 2:

Całki pierwsze \( \hskip 0.3pc g_1, \ldots , g_m \in C^1(\Omega )\hskip 0.3pc \) ( \( \hskip 0.3pc m\leq n\hskip 0.3pc \)) nazywamy funkcyjnie niezależnymi w zbiorze \( \hskip 0.3pc \Omega,\hskip 0.3pc \) jeśli dla dowolnego \( \hskip 0.3pc (t,x)\in \Omega\hskip 0.3pc \) rząd macierzy jakobianu

\( \begin{bmatrix} \dfrac{\partial g_1}{\partial x_1}(t,\hskip 0.2pc x) &\ldots & \dfrac{\partial g_1}{\partial x_n}(t,\hskip 0.2pc x)\\\vdots &\ddots &\vdots\\ \dfrac{\partial g_m}{\partial x_1}(t,\hskip 0.2pc x)& \ldots & \dfrac{\partial g_m}{\partial x_n}(t,\hskip 0.2pc x)\end{bmatrix} \)

wynosi \( \hskip 0.3pc m,\hskip 0.3pc \) tzn. w każdym punkcie \( \hskip 0.3pc (t,x_1,\ldots ,x_n)\in \Omega\hskip 0.3pc \) wiersze tej macierzy są wektorami liniowo niezależnymi.
W szczególności, jeśli \( \hskip 0.3pc m =n\hskip 0.3pc \) to wyznacznik powyższej macierzy jest różny od zera.

Przypomnijmy, że punkt \( \hskip 0.3pc (t_0,\stackrel{o}{x})\in \Omega\hskip 0.3pc \) nazywamy punktem równowagi układu ( 2 ), jeśli prawe strony tego układu zerują się w tym punkcie, czyli

\( f_1(t_0,\stackrel{o}{x})=0,\hskip 0.5pc f_2(t_0,\stackrel{o}{x})=0, \ldots ,f_n(t_0,\stackrel{o}{x})=0. \)

Twierdzenie 1:

ZAŁOŻENIA:

Zakładamy, że prawe strony \( \hskip 0.3pc f_1, \ldots ,f_n\hskip 0.3pc \) układu równań ( 2 ) są funkcjami klasy \( \hskip 0.3pc C^1\hskip 0.3pc \) w obszarze \( \hskip 0.3pc \Omega \subset \mathbb R\times \mathbb R^n.\hskip 0.3pc \) Załóżmy ponadto, że w pewnym otoczeniu punktu \( \hskip 0.3pc (t_0,\stackrel{o}{x}) =\big(t_0, \stackrel{o}{x}_1, \ldots , \stackrel{o}{x}_n\big) \in \Omega\hskip 0.3pc \) nie będącym punktem równowagi układu ( 2 ), istnieje \( \hskip 0.3pc n\hskip 0.3pc \) całek pierwszych funkcyjnie niezależnych \( \hskip 0.3pc g_1, \ldots , g_{n}\hskip 0.3pc \) tego układu. Niechi \( \hskip 0.3pc g\hskip 0.3pc \) będzie dowolną całką pierwszą układu ( 2 ) w tym otoczeniu.

TEZA:

Wtedy

(3)

\( g(t,x_1, \ldots ,x_n) =F\big(g_1(t,x_1, \ldots ,x_n), \ldots ,g_{n}(t,x_1, \ldots ,x_n)\big) \)

w pewnym otoczeniu punktu \( \hskip 0.3pc (t_0,\stackrel{o}{x}),\hskip 0.3pc \) gdzie \( \hskip 0.3pc F\hskip 0.3pc \) jest funkcją klasy \( \hskip 0.3pc C^1\hskip 0.3pc \)

DOWÓD:

Dla \( \hskip 0.3pc (t_0,x)\in \Omega\hskip 0.3pc \) rozwiązanie \( \hskip 0.3pc \varphi\hskip 0.3pc \) układu ( 2 ) spełniające warunek \( \hskip 0.3pc \varphi (t_0)=x\hskip 0.3pc \) oznaczmy symbolem \( \hskip 0.3pc \varphi (\,\cdot\,;t_0,x)\hskip 0.3pc \). Oczywiście \( \hskip 0.3pc \varphi (t_0;t_0,x)=x.\hskip 0.3pc \) Rozpisując ostatną równość we współrzędnych otrzymamy

\( \begin{cases} \varphi_1 (t_0;t_0,x_1,\ldots ,x_n)=x_1, &\\~~ \vdots \hskip 3pc \vdots\hskip 3pc \vdots &\\\varphi_n (t_0;t_0,x_1,\ldots ,x_n)=x_n. \end{cases} \)

Zauważmy, że

\( \begin{vmatrix}\dfrac{\partial \varphi_1}{\partial x_1}( t_0;t_0,x_1,\ldots ,x_n) & \ldots & \dfrac{\partial \varphi_1}{\partial x_n}(t_0;t_0,x_1,\ldots ,x_n)\\ \vdots &\ddots &\vdots \\ \dfrac{\partial \varphi_n}{\partial x_1}(t_0;t_0,x_1,\ldots ,x_n) & \ldots & \dfrac{\partial \varphi_n}{\partial x_n}(t_0;t_0,x_1,\ldots ,x_n)\end{vmatrix}=\begin{vmatrix} 1&0& \ldots &0& 0\\ \vdots &\vdots &\ddots &\vdots &\vdots \\0&0& \ldots &0&1 \end{vmatrix} =1. \)

Załóżmy, że \( \hskip 0.3pc (t_0, \stackrel{o}{x}) \in \Omega\hskip 0.3pc \) nie jest punktem równowagi układu ( 2 ) .
Niech \( \hskip 0.3pc I\times U\hskip 0.3pc \) będzie otoczeniem punktu \( \hskip 0.3pc (t_0,\stackrel{o}{x})\hskip 0.3pc \) tak dobranym, że dla każdego \( \hskip 0.3pc (t,x)\in I\times U\hskip 0.3pc \) rozwiązanie \( \hskip 0.3pc \varphi (\,\cdot\,;t,x)\hskip 0.3pc \) jest określone w punkcie \( \hskip 0.3pc t_0.\hskip 0.3pc \) Ponadto, ponieważ funkcje w powyższym wyznaczniku są ciągłe, możemy otoczenie to dobrać tak, aby

\( \begin{vmatrix}\dfrac{\partial \varphi_1}{\partial x_1}( t_0;t,x_1,\ldots ,x_n) & \ldots & \dfrac{\partial \varphi_1}{\partial x_n}(t_0;t,x_1,\ldots ,x_n)\\ \vdots &\ddots &\vdots \\ \dfrac{\partial \varphi_n}{\partial x_1}(t_0;t,x_1,\ldots ,x_n) & \ldots & \dfrac{\partial \varphi_n}{\partial x_n}(t_0;t,x_1,\ldots ,x_n)\end{vmatrix} \neq 0, \)

dla \( \hskip 0.3pc (t,x)\in I\times U.\hskip 0.3pc \) Onacza to, że funkcje \( \hskip 0.3pc \varphi_1 (t_0;\,\cdot,\,\cdot), \ldots ,\,\varphi_n(t_0;\,\cdot,\,\cdot)\hskip 0.3pc \) są funkcyjnie niezależne w zbiorze \( \hskip 0.3pc I\times U.\hskip 0.3pc \) Przy przyjętych założeniach o funkcjach \( \hskip 0.3pc f_1, \ldots ,f_n\hskip 0.3pc \), przez każdy punkt \( \hskip 0.3pc (t,x)\in I\times U\hskip 0.3pc \)przechodzi dokładnie jedno rozwiązanie \( \hskip 0.3pc \varphi (\,\cdot\,;t,x)\hskip 0.3pc \) układu ( 2 ).
Ponadto, jeśli \( \hskip 0.3pc y=\varphi (s;t,x) ,\hskip 0.3pc \) to \( \hskip 0.3pc x=\varphi (t;s,y),\hskip 0.3pc \) \( \hskip 0.3pc s\in I.\hskip 0.3pc \) Dla \( \hskip 0.3pc (t,x)\in I\times U\hskip 0.3pc \) połóżmy \( \hskip 0.3pc \widetilde x= \varphi (t_0;t,x).\hskip 0.3pc \)
Zgodnie z powyższymi obserwacjami wartość \( \hskip 0.3pc \widetilde x\hskip 0.3pc \) jest stała na każdej całce (tzn. jeśli \( \hskip 0.3pc \Gamma \hskip 0.3pc \) jest wykresem całki układu ( 2 ) to \( \hskip 0.3pc \varphi (t_0;t,x)={\rm const}\hskip 0.3pc \) dla dowolnego \( \hskip 0.3pc (t,x)\in \Gamma.\hskip 0.3pc \))
Zatem dla dowolnego \( \hskip 0.3pc s\in I\hskip 0.3pc \) mamy

\( \begin{aligned}& \varphi_1 (t_0;s,\varphi (s;t,x)))= \varphi _1(t_0;s,y)= \varphi _1(t_0;t,x)= \widetilde x_1,\\&\hskip 1pc \vdots\\ & \varphi_n (t_0;s,\varphi (s;t,x)))=\varphi _n(t_0;s,y)=\varphi _n(t_0;t,x)= \widetilde x_n, \end{aligned} \)

gdzie \( \hskip 0.3pc y=\varphi (s;t,x).\hskip 0.3pc \)
Wynika stąd, że funkcje \( \hskip 0.3pc \varphi_1(t_0;\,\cdot,\,\cdot), \ldots ,\,\varphi_n(t_0;\,\cdot,\,\cdot)\hskip 0.3pc \) są funkcyjnie niezależnymi całkami pierwszymi układu ( 2 ) na zbiorze \( \hskip 0.3pc I\times U.\hskip 0.3pc \) Połóżmy

\( g_i(s ,x_1,\ldots ,\,x_n)= \varphi_i (t_0;s,x_1, \ldots ,\,x_n), \quad i=1,\ldots ,\,n. \)

Oczywiście \( \hskip 0.3pc g_1, \ldots ,g_n\hskip 0.3pc \) są funkcyjnie niezależnymi całkami pierwszymi układu ( 2 ) na zbiorze \( \hskip 0.3pc I\times U.\hskip 0.3pc \)
Niech \( \hskip 0.3pc g :I\times U\to \mathbb R\hskip 0.3pc \) będzie dowolną całką pierwszą układu ( 2 ). Ponieważ całka pierwsza jest stała wzdłuż dowolnego rozwiązania \( \hskip 0.3pc x=x(s),\hskip 0.3pc \) \( \hskip 0.3pc s\in I,\hskip 0.3pc \) powtarzając rozumowanie dowodu warunku koniecznego twierdzenia otrzymamy dla \( \hskip 0.3pc s\in I\hskip 0.3pc \) układ równań

\( \begin{cases}\dfrac{\partial g_1}{\partial s} (s,x(s)) + f_1(s,x(s)) \dfrac{\partial g_1}{\partial x_1}(s,x(s)) +\ldots + f_n(s,x(s)) \dfrac{\partial g_1}{\partial x_n}(s,x(s)) =0 ,\\ \hskip 1pc \vdots \\ \dfrac{\partial g_n}{\partial s} (s,x(s)) + f_1(s,x(s)) \dfrac{\partial g_n}{\partial x_1}(s,x(s)) +\ldots + f_n(s,x(s)) \dfrac{\partial g_n}{\partial x_n}(s,x(s)) =0 ,\\ \dfrac{\partial g}{\partial s} (s,x(s)) + f_1(s,x(s)) \dfrac{\partial g}{\partial x_1}(s,x(s)) +\ldots + f_n(s,x(s)) \dfrac{\partial g}{\partial x_n}(s,x(s)) =0 .\end{cases} \)

Ponieważ dla dowolnego \( \hskip 0.3pc s\in I\hskip 0.3pc \) powyższy układ posiada rozwiązanie niezerowe wzgledem \( \hskip 0.3pc 1,f_1, \ldots ,f_n\hskip 0.3pc \), zatem wyznacznik współczynników musi być równy zeru, czyli

\( \begin{vmatrix}\dfrac{\partial g_1}{\partial s}(s,x(s))& \dfrac{\partial g_1}{\partial x_1}(s,x(s)) & \ldots & \dfrac{\partial g_1}{\partial x_n}(s,x(s)) \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\ \dfrac{\partial g_n}{\partial s}(s,x(s)) & \dfrac{\partial g_n}{\partial x_1}(s,x(s)) & \ldots & \dfrac{\partial g_n}{\partial x_n}(s,x(s)) \\ \dfrac{\partial g }{\partial s}(s,x(s)) &\dfrac{\partial g }{\partial x_1}(s,x(s)) & \ldots & \dfrac{\partial g }{\partial x_n}(s,x(s))\end{vmatrix}=0. \)

Z ostatniej równości wynika, że pochodne funkcji \( \hskip 0.3pc g \hskip 0.3pc \) są liniowo zależne od pochodnych funkcji \( \hskip 0.3pc g _1, \ldots , g _n.\hskip 0.3pc \)

W konsekwencji

\( g(t,x) =F(g _1(t_0;t,x), \ldots ,g _n(t_0;t,x)), \)

gdzie \( \hskip 0.3pc F\hskip 0.3pc \) jest funkcją klasy \( \hskip 0.3pc C^1.\hskip 0.3pc \)

Rozważmy teraz układ autonomiczny

(4)

\( \begin{cases}\dfrac{dx_1}{dt}=f_1(x_1, \,\ldots , \,x_n), \\ \vdots \\ \dfrac{dx_n}{dt}=f_n(x_1,\,\ldots ,\,x_n), \end{cases} \)

Załóżmy, że \( \hskip 0.3pc f_n(x_1,\ldots ,x_n)\neq 0.\hskip 0.3pc \) Dla \( \hskip 0.3pc i=1, \ldots ,n-1\hskip 0.3pc \) połóżmy

\( \widetilde f_i(x_1,\ldots ,x_n)=\dfrac {f_i(x_1,\ldots ,x_n)}{f_n(x_1,\ldots ,x_n)}, \)

oraz \( \hskip 0.3pc s=x_n.\hskip 0.3pc \) Wówczas

\( \dfrac {\dfrac {d x_i}{dt}}{\dfrac {d x_n}{dt}}=\dfrac {d x_i}{dx_n}=\dfrac {d x_i}{ds},\hskip 1pc i=1,\ldots n-1. \)

Zatem układ (4) możemy zapisać w formie:

(5)

\( \begin{cases}\dfrac{dx_1}{ds}=\widetilde f_1(x_1,\,\ldots ,\, x_{n-1},s), \\ \vdots \\ \dfrac{dx_{n-1}}{ds}=\widetilde f_n(x_1,\ldots ,x_{n-1},s).\end{cases}. \)

Zgodnie z poprzednim twierdzeniem, w otoczeniu dowolnego punktu nie będącego punktem równowagi, układ ten posiada \( \hskip 0.3pc n-1\hskip 0.3pc \) funkcyjnie niezależnych całek pierwszych

\( g_1=g_1(x_1,\ldots ,x_{n-1},s),\ldots , g_{n-1}=g_{n-1}(x_1,\ldots ,x_{n-1},s). \)

Ponadto, jeśli \( \hskip 0.3pc g\hskip 0.3pc \) jest całką pierwszą w tym otoczeniu, to \( \hskip 0.3pc g=F\circ (g_1,\ldots ,g_{n-1}),\hskip 0.3pc \) gdzie \( \hskip 0.3pc F\hskip 0.3pc \) jest funkcją klasy \( \hskip 0.3pc C^1.\hskip 0.3pc \)

Uwaga 2:

Jeśli ( 2 ) jest układem autonomicznym, to znaczy niezależnym od zmiennej \( \hskip 0.3pc t\hskip 0.3pc \) i ponadto \( \hskip 0.3pc f_1\neq 0,\hskip 0.3pc \) to układ ten można sprowadzić do równoważnego układu \( \hskip 0.3pc n-1\hskip 0.3pc \) równań

\( \dfrac{dx_2}{dx_1} =\dfrac{f_2}{f_1}, \quad \ldots , \quad \dfrac{dx_n}{dx_1} =\dfrac{f_n}{f_1}. \)

Zgodnie z twierdzeniem 1, aby znaleźć wszystkie całki pierwsze tego układu, wystarczy znać \( \hskip 0.3pc n-1\hskip 0.3pc \) całek pierwszych funkcyjnie niezależnych.

Temat:
Opis:
Typ:

Email:

Matematyka